Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ．A為橢圓上異于頂點的一點，點P滿足 = ，

（1）若點P的坐標為（2， ），求橢圓的方程；
（2）設過點P的一條直線交橢圓于B，C兩點，且 =m ，直線OA，OB的斜率之積﹣ ，求實數m的值；
（3）在（1）的條件下，是否存在定圓M，使得過圓M上任意一點T都能作出該橢圓的兩條切線，且這兩條切線互相垂直？若存在，求出定圓M；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由P（2， ），設A（x，y），則 =（2， ）， =（﹣x，﹣y），

由題意可知： = ，

∴ ，則 ，

A（﹣1，﹣ ），代入橢圓方程，得 ，

又橢圓的離心率e= = ，

則 = ，②

由①②，得a2=2，b2=1，

故橢圓的方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

∵ = ，

∴P（﹣2x1，﹣2y1），．

∵ =m ，

∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），

即 ，

于是 ．

代入橢圓方程，得 + =1，

（ ）+ （ ）﹣ （ + ）=1，

∵A，B在橢圓上， ， ，

由直線OA，OB的斜率之積﹣ ，即 =﹣

∴ ，

∴ ，解得：m=

（3）解：存在定圓M，x2+y2=3，

在定圓M上任取一點T（x0，y0），其中x0≠± ，

設過點T（x0，y0）的橢圓的切線方程為y﹣y0=k（x﹣y0），即y=kx﹣kx0+y0，

∴ ，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（﹣kx0+y0）x+2（﹣kx0+y0）2﹣2=0，

由△=16k2（﹣kx0+y0）2﹣8（1+2k2）[（﹣kx0+y0）2﹣1]=0，

整理得：（2﹣ ）k2+2kx0y0+1﹣ =0

故過點T（x0，y0）的橢圓的兩條切線斜率k1，k2分別是（2﹣ ）k2+2kx0y0+1﹣ =0的兩解．

故k1k2= = = =﹣1，

∴橢圓的兩條切線垂直．

當x0=± 時，

顯然存在兩條互相垂直的切線

【解析】（1）由題意可知： = ，求得A點坐標，由e= = ，將A代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），根據 =m ，求得 ．代入橢圓方程 + =1，由直線OA，OB的斜率之積﹣ ，利用斜率公式求得 ，代入整理得： ，解得：m= ，；（3）假設存在否存在定圓M，求得直線的切線方程，代入橢圓方程，由△=0，求得（2﹣ ）k2+2kx0y0+1﹣ =0，則橢圓的兩條切線斜率k1 ， k2分別是（2﹣ ）k2+2kx0y0+1﹣ =0的兩解，由韋達定理求得k1k2= = = =﹣1，因此橢圓的兩條切線垂直，則當x0=± 時，顯然存在兩條互相垂直的切線，即可求得圓的方程．