Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x²-4x
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞x的解集．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,一元二次不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的性質，分別求出x＜0和x=0的表達式即可；
（2）分別討論，當x≥0時，當x＜0時的不等式，解出，再求并集即可．

解答： 解：（1）∵定義在R上的奇函數f（x），
∴f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=x²-4x，
∴f（-x）=x²+4x=-f（x），
∴當x＜0時，f（x）=-x²-4x，
∴f（x）=

x2-4x，x≥0 -x2-4x，x＜0

；
（2）當x≥0時，x²-4x＞x，解得x＞5，
當x＜0時，-x²-4x＞x，解得-5＜x＜0，
故不等式的解集為（-5，0）∪（5，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，考查分段函數的運用：解不等式，利用函數奇偶性的定義將變量進行轉化是解決本題的關鍵．