Question

設函數f（x），g（x）滿足下列條件：
（1）對任意實數x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂）；
（2）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1．
下列四個命題：
①g（0）=1；
②g（2）=1；
③f²（x）+g²（x）=1；
④當n＞2，n∈N^*時，[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值為1．
其中所有正確命題的序號是（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：既然對任意實數x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），那么分別令x₁，x₂取1，0，-1
求出g（0），g（1），g（-1），g（2），然后令x₁=x₂=x可得③，再根據不等式即可得④

解答： 解；對于①結論是正確的．
∵對任意實數x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂）
且f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，
令x₁=x₂=1，得[f（1）]²+[g（1）]²=g（0），∴1+[g（1）]²=g（0），∴g（0）-1=[g（1）]²
令x₁=1，x₂=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）-1]=0
解方程組

g(0)-1=[g(1)]2 g(1)[g(0)-1]=0

  得

g(1)=0 g(0)=1

 
對于②結論是不正確的，令x₁=0，x₂=-1，得f（0）f（-1）+g（0）g（-1）=g（1），∴g（-1）=0
令x₁=1，x₂=-1，得f（1）f（-1）+g（1）g（-1）=g（2），∴-1=g（2），∴g（2）≠1
對于③結論是正確的，令x₁=x₂=1，得f²（x）+g²（x）=g（0）=1，
對于④結論是正確的，由③可知f²（x）≤1，∴-1≤f（x）≤1，-1≤g（x）≤1
∴|fⁿ（x）|≤f²（x），|gⁿ（x）|≤g²（x）對n＞2，n∈N^*時恒成立，
[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ≤f²（x）+g²（x）=1
綜上，①③④是正確的．
故選：D

點評：本題考查賦值法求抽象函數的性質屬于中檔題．