Question

已知函數f（x）=（x-a）lnx，a∈R．若a=0，對于任意的x∈（0，1）．
（1）求證：-

1

e

≤f（x）＜2．
（2）若函數f（x）在其定義域內不是單調函數，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數判斷函數的單調性，求得函數的最值，即可得出結論；
（2）由題意可得，即證f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，即x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

在x∈（0，1）有解即可，令g（x）=

x

xlnx+1

，利用導數求得函數g（x）的最值，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x-a）lnx，若a=0，則f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴x∈（0，

1

e

）時，f′（x）＜0，x∈（

1

e

，1）時，f′（x）＞0，
∴當x=

1

e

時，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，
又f（1）=0，∴-

1

e

≤f（x）＜0．
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，
∴f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，
∴x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

，x∈（0，1），
令g（x）=

x

xlnx+1

，則g′（x）=

1-x

(xlnx+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調遞增，
∴0＜g（x）＜1，
又∵f（x）在其定義域內不是單調函數，
∴0＜a＜1．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及轉化劃歸思想的運用能力，屬于難題．