Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）證明AD⊥PC
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AD的中點O，連接PO，OC，可證得四邊形ABCO為矩形，結合等腰三角形三線合一及線面垂直的判定定理，可得AD⊥平面POC，進而AD⊥PC
（Ⅱ）（法一）：分別以OC，OA，OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面APD，平面PDC的法向量，代入向量夾角公式，可求得二面角A-PD-C的余弦值．
（法二）：過O點作OE⊥PD，垂足為E，連接CE，則CE⊥PD，于是∠CEO為所求二面角的一個平面角，解三角形可求得二面角A-PD-C的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）取AD的中點O，連接PO，OC，

∵△PAD為正三角形，
∴PO⊥AD…（2分），
又∵在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=2BC，
∴BC∥AO，且BC=AO
∴四邊形ABCO為矩形，
∴CO⊥AD…（4分），
又∵PO∩CO=O，PO，CO?平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又∵PC?平面POC，
∴AD⊥PC…（6分）
解：（Ⅱ）（法一）：由（Ⅰ）知PO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD，所以分別以OC，OA，OP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的直角坐標系，并設BC=1，則AB=AD=2，OP=

3

，

∴O（0，0，0），C（2，0，0），A（0，1，0），D（0，-1，0），P(0，0，

3

)
∴

OP

=(0，0，

3

)，

OD

=(0，-1，0)，

CP

=(-2，0，

3

)，

CD

=(-2，-1，0)…（8分）
設平面APD，平面PDC的法向量分別為

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)
則

n1 • OP =0 n1 • OD =0

且

n2 • CP =0 n2 • CD =0

∴

3 z1=0 -y1=0

且

-2x2+ 3 z2=0 -2x2-y2=0

∴分別取平面APD，平面PDC的一個法向量

n1

=(1，0，0)，

n2

=(

3

，-2

3

，2)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

19

=

57

19

∴二面角A-PD-C的余弦值為

57

19

…（12分）
（法一）：由（Ⅰ）知CO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD
∴CO⊥平面PAD，
過O點作OE⊥PD，垂足為E，連接CE，則CE⊥PD，

于是∠CEO為所求二面角的一個平面角，
設BC=1，則AB=AD=2，OD=1，OC=2，
則OE=

3

2

，CE=

OC2+OE2

=

19

2

，
∴cos∠OEC=

OE

CE

=

3 2

19 2

=

57

19

∴二面角A-PD-C的余弦值為

57

19

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定與性質，是立體幾何知識的綜合考查，難度中檔．