Question

設S_n是數列{a_n}的前n項和，點P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=2（1-

1

an

），數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≥a²-2恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（1）把點的坐標代入直線方程得到數列遞推式，進一步證得數列為等比數列，由等比數列的通項公式得答案；
（2）把（1）中求得的通項公式代入b_n=2（1-

1

an

），由分組求和及等比數列的前n項和求得數列{b_n}的前n項和為T_n，代入T_n≥a²-2后分離變量a，得到a2≤2[n+(

1

2

)n]，由函數單調性求出2[n+(

1

2

)n]有最小值3，則a的最大值可求．

解答： 解：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n≥2時，
S_n-1=2a_n-1-2．
∴n≥2時，
S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1．
又n=1時，a₁=2，
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數列，
∴an=2•2n-1=2ⁿ；
（2）∵b_n=2（1-

1

an

）=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

，
∴Tn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2（1-

1

2n

）=2n-2+2×(

1

2

)n．
由T_n≥a²-2恒成立，得2n-2+2×(

1

2

)n≥a²-2．
即a2≤2[n+(

1

2

)n]．
令g（n）=n+(

1

2

)n，
∵g′(n)=1-(

1

2

)nln2＞0，
∴g（n）=n+(

1

2

)n為增函數，
∴當n=1時，2[n+(

1

2

)n]有最小值3．
故a²≤3，解得-

3

≤a≤

3

．
∴a的最大值為

3

．

點評：本題考查等比關系的確定，考查了數列前n項和的求法，訓練了分離變量法求解恒成立問題，屬中檔題．