Question

某校50名學生在一次科普知識競賽中，初賽成績全部介于60與100之間，將初賽成績按如下方式分成四組：第一組[60，70]，第二組[70，80]，…，第四組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求成績在[80，90]范圍內的人數；
（Ⅱ）決賽規則如下：為每位參加決賽的選手準備4道判斷題，選手對其依次回答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對l道，則獲得二等獎，否則獲得三等獎．某同學進入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與成績不少于80分的頻率值相同．
（i）求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
（ii）設該同學決賽中答題個數為X，求X的分布列及X的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由成績在[80，90）范圍內的頻率是0.28，能求出成績在[80，90）范圍內的人數．
（Ⅱ）（i）由已知條件求出p=0.4．該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，第4道也能夠答對才獲得一等獎，由此能求出結果．
（ii）由題設可知，該同學答題個數為2、3、4．即X=2、3、4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得成績在[80，90）范圍內的頻率是0.28   …（2分）
則成績在[80，90）范圍內的人數是0.28×50=14人…（3分）
（Ⅱ）∵成績在[80，90）范圍內的頻率是0.28，在[90，100）范圍內的頻率是0.12，
∴p=0.28+0.12=0.4．…（5分）
（i）該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，
第4道也能夠答對才獲得一等獎，
則有

C

1 3

×0.4×0．62×0.4=0.1728．
∴該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率為0.1728．…（7分）
（ii）由題設可知，該同學答題個數為2、3、4．即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，P（X=3）=

C

1 2

×0.4×0.6×0.4=0.192，
P（X=4）=

C

1 3

×0.4×0．62+0．63=0.648．…（11分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	0.16	0.192	0.648

E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488．…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用．