Question

【題目】已知函數， ．

（1）曲線在點處的切線平行于軸，求實數的值；

（2）記．

（i）討論的單調性；

（ii）若， 為在上的最小值，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）①若， ， 在單調遞增；②若或，當時， ；當時， ；所以在單調遞減，在， 單調遞增;(ii)見解析.

【解析】試題分析：（1）先求得， ，由在處的切線平行于軸，得，從而可得實數的值；（2）（i）求出，分兩種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（ii）若， 在單調遞減，在單調遞增． ，令，利用導數研究函數的單調性，只需證明的最大值小于零即可.

試題解析：（1）， ，

因為在處的切線平行于軸，所以，所以；

（2），

（i） ，

若，即時，則由得，當時， ；

當時， ；

所以在單調遞減，在單調遞增．

若，則由，得或，構造函數（），

則，由，得，

所以在單調遞減，在單調遞增，

，

所以（當且僅當時等號成立）．

①若， ， 在單調遞增；

②若或，

當時， ；當時， ；

所以在單調遞減，在， 單調遞增．

（ii）若， 在單調遞減，在單調遞增．

，令，則，

令， ， 在單調遞減，

， ，所以存在唯一的使得，

所以在單調遞增，在單調遞減，故當時， ，

又，所以 ，

所以當時， ．