Question

【題目】已知空間幾何體中， 與均為邊長為的等邊三角形， 為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）試在平面內作一條直線，使得直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)取中點，取中點，連結，則即為所求.

取中點，連結，則，由線面垂直的性質定理可得平面，同理可證平面，則平面.結合幾何關系可得平面.故平面平面， 平面.

(Ⅱ)連結，取中點，連結，則，由（Ⅰ）可知平面，結合幾何關系可得， ， . .

試題解析：

（Ⅰ）如圖所示，取中點，取中點，連結，則即為所求.

證明：取中點，連結，

∵為腰長為的等腰三角形， 為中點，

∴，

又平面平面，

平面平面， 平面，

∴平面，

同理可證平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 分別為， 中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面.

（Ⅱ）連結，取中點，連結，則，

由（Ⅰ）可知平面，

所以點到平面的距離與點到平面的距離相等.

又是邊長為的等邊三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又為中點，∴，

又， ，∴.

∴ .