Question

2008年5月12日，四川汶川發生8.0級特大地震，通往災區的道路全部中斷.5月12日晚，抗震救災指揮部決定從水路（一支隊伍）、陸路（東南和西北兩個方向各一支隊伍）和空中（一支隊伍）同時向災區挺進．在5月13日，仍時有較強余震發生，天氣狀況也不利于空中航行．已知當天從水路抵達災區的概率是

1

2

，從陸路每個方向抵達災區的概率都是

1

2

，從空中抵達災區的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率；
（Ⅱ）求在5月13日抵達災區的隊伍數ξ的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由相互獨立事件的概率乘法公式能求出在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率．
（Ⅱ）設5月13日抵達災區的隊伍數為ξ，則ξ=0、1、2、3、4．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），
P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出在5月13日抵達災區的隊伍數ξ的數學期望．

解答： （理）（Ⅰ）解：依據題意，∵隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，
將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件．
記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．…（2分）
在5月13日恰有1支隊伍抵達災區的概率是
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

．…（5分）
（Ⅱ）解：依據題意，因為隊伍從水路或陸路抵達災區的概率相等，
則將“隊伍從水路或陸路抵達災區”視為同一個事件．
記“隊伍從水路或陸路抵達災區”為事件C，且B、C相互獨立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．
設5月13日抵達災區的隊伍數為ξ，則ξ=0、1、2、3、4．…（6分）
由已知有：P（ξ=0）=

C

0 3

×(1-

1

2

)3×

3

4

=

3

32

，…（7分）
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

，…（8分）
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)×

3

4

+

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2×

1

4

=

3

8

，…（9分）
P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

3

4

+

C

2 3

×(

1

2

)2+(1-

1

2

)×

1

4

=

3

16

，…（10分）
P（ξ=4）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

1

4

=

1

32

．…（10分）
因此其概率分布為：

ξ	0	1	2	3	4
P	3 32	5 16	3 8	3 16	1 32

…（11分）
所以在5月13日抵達災區的隊伍數ξ的數學期望為：
Eξ=0×

3

32

+1×

5

16

+2×

3

8

+3×

3

16

+4×

1

32

=

7

4

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數學期的求法，解題時要認真審題，注意相互獨立事件的概率乘法公式的合理運用．