Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′棱的中點．求平面BEC′與平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以D為原點，分別以DA、DC、DD′為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面BEC′與平面ABCD所成的角的余弦值．

解答： 解：以D為原點，分別以DA、DC、DD′為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為2，
則B（2，2，0），E（2，0，1），C‘（0，2，2），
∴

BE

=(0，-2，1)，

BC′

=(-2，0，2)，
設平面BEC′的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BE =-2y+z=0 n • BC′ =-2x+2z=0

，
取x=1，得

n

=(2，1，2)，
由題意知平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
設平面BEC′與平面ABCD所成的角的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

2

4+1+4

=

2

3

．
∴平面BEC′與平面ABCD所成的角的余弦值為

2

3

．

點評：本題考查平面與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．