Question

如圖，矩形OABC在變換T的作用下變成了平行四邊形OA′B′C′，變換T所對應的矩陣為M，矩陣N是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標伸長到原來的3倍所對應的變換矩陣． 
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判斷矩陣MN是否存在特征值．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算,變換、矩陣的相等,矩陣變換的性質

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用待定系數法，求出矩陣M、N，可得MN，再求（MN）^-1；
（Ⅱ）求出矩陣MN的特征多項式，可得△＜0，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）設M=

a b c d

，則由題意，可得

a b c d

2 0

=

0 2

，

a b c d

2 1

=

-1 3

，
解得a=0，b=-1，c=1，d=1，
∴M=

0 -1 1 1

，N=

2 0 0 3

，
∴MN=

0 -1 1 1

2 0 0 3

=

0 -3 2 3

，
∴（MN）^-1=

1 2 1 2 - 1 3 0

；
（Ⅱ）矩陣MN的特征多項式f（λ）=

.

λ 3 -2 λ-3

.

=λ²-3λ+6=0，
∵△＜0，
∴矩陣MN不存在特征值．

點評：本題考查了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．