Question

設(shè)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在（

2

3

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+

1

2

（1-a）x²+2a（1-a）x，若0＜a＜2，g（x）在[1，4]上的最小值為-

16

3

，求g（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件得f′（x）=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，由此結(jié)合已知條件能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由已知條件得g（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，g′（x）=-(x-

1+ 1+8a

2

)(x-

1- 1+8a

2

)，由此結(jié)合已知條件能求出g（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2a²x（a∈R），
∴f′（x）=-x²+ax+2a²
=-（x-2a）（x+a），
由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，
①當(dāng)a=0時(shí)，有x²≤0，得x=0，不合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，有-a＜x＜2a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在遞增區(qū)間，
∴2a＞

2

3

，即a＞

1

3

；
③當(dāng)a＜0時(shí)，有2a＜x＜-a，
∵f（x）在（

2

3

，+∞）上存在遞增區(qū)間，
∴-a＞

2

3

，即a＜-

2

3

．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-

2

3

）∪（

1

3

，+∞）．
（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+

1

2

（1-a）x²+2a（1-a）x
=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，
∴g′（x）=-x²+x+2a=-(x-

1+ 1+8a

2

)(x-

1- 1+8a

2

)，
∵0＜a＜2，∴

1- 1+8a

2

＜0，
且t＜

1+ 1+8a

2

＜

1+ 1+16

2

＜4，
由g′（x）＞0，得

1- 1+8a

2

＜x＜

1+ 1+8a

2

，
∴g（x）在[1，

1+ 1+8a

2

]上遞增，在[

1+ 1+8a

2

，4]上遞減，
∴g(x)max=g(

1+ 1+8a

2

)，
又∵0＜a＜2，
∴g（4）-g（1）=（-

64

3

+8+8a）-（-

1

3

+

1

2

+2a）=6a-

27

2

＜0，
∴g（4）＜g（1），
∴在[1，4]上，函數(shù)g(x)min=g(4)=-

64

3

+8+8a=-

16

3

，
解得a=1，此時(shí)g（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
在[1，4]上，g(x)max=g(

1+ 1+8a

2

)=g(2)=-

8

3

+2+4=

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．