Question

方程

x2

a

+

y2

b

=1（a，b∈{1，2，3，4，…，2013}）的曲線中，所有圓面積的和等于

 

，離心率最小的橢圓方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）當a=b=1，2，3，…2013時，方程表示的曲線為圓，設圓的半徑是r，則r²=1，2，3…，2013，代入圓的面積公式，求出所有圓面積的和等于多少即可；
（2）根據離心率的求法，要離心率最小，則應滿足a、b的差最小，據此求出離心率的最小值，以及對應的橢圓的方程即可．

解答： 解：當a=b=1，2，3，…2013時，方程表示的曲線為圓，
設圓的半徑是r，則r²=1，2，3…，2013，
根據圓的面積公式，可得所有圓面積的和為：
π（1+2+3+…+2013）=π•

(1+2013)×2013

2

=2027091π；
要離心率最小，則應滿足a、b的差最小，
①當a＞b時，a=2013，b=2012時，離心率最小為

2013-2012

2013

=

2013

2013

，
此時橢圓的方程為：

x2

2013

+

y2

2012

=1；
②當a＜b時，a=2012，b=2013時，離心率最小為

2013-2012

2013

=

2013

2013

，
此時橢圓的方程為：

y2

2013

+

x2

2012

=1．
故答案為：2027091π；

x2

2013

+

y2

2012

=1或

y2

2013

+

x2

2012

=1．

點評：此題主要考查了橢圓的基本性質，以及分類討論思想的運用，考查了圓的特征以及面積公式的運用，屬于基礎題．