Question

【題目】已知函數f(x)＝ax3－x2＋1(xR)，其中a＞0．

(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；

(2)若在區間上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝6x－9．（2）0＜a＜5．

【解析】試題分析：（1）利用導數求切線斜率即可；
（2）在區間上，恒成立恒成立，令，解得或，以下分兩種情況，討論，分類求出函數最大值即可.

試題解析：（1）當a＝1時，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．

所以曲線y＝f(x) 在點（2，f(2)）處的切線方程y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9．

（2）f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．

以下分兩種情況討論：

①若0＜a≤2，則≥，當x變化時，f' (x)，f(x)的變化情況如下表：

x	（－，0）	0	（0，）
f' (x)	＋	0	－
f(x)	遞增	極大值	遞減

當x[－，]上，f(x)＞0等價于，即解不等式組得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．

②若a＞2，則0＜＜，當x變化時，f' (x)，f(x)的變化情況如下表：

X	（－，0）	0	（0，）		（，）
f' (x)	＋	0	－	0	＋
f'(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當x[－，]上，f(x)＞0等價于，即解不等式組得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5． 綜合①和②，可知a的取值范圍為0＜a＜5．