Question

【題目】拋物線C:y2＝2px(p＞0)的準線為l，焦點為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點O作傾斜角為的直線n交l于點A， 交⊙M于另一點B，且AO＝OB＝2．

(1)求⊙M和拋物線C的方程；

(2)若P為拋物線C上的動點，求的最小值；

(3)過l上的動點Q向⊙M作切線，切點為S，T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)(x－2)2＋y2＝4。 (2)2.(3).

【解析】試題分析：（1）根據可求出的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出的方程；（2）先表示出然后根據點在拋物線上將消去，求關于的二次函數的最小值即可；（3）以點這圓心，為半徑作，則線段即為與的公共弦，設點，根據，求出直線的方程，使直線與無關，可求出定點坐標.

試題解析：(1)因為＝OA·cos60°＝2×＝1，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x

設⊙M的半徑為r，則r＝·＝2，所以⊙M的方程為(x－2)2＋y2＝4。

(2)設P(x，y)(x≥0)，則·＝(2－x，－y)(1－x，－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2，

所以當x＝0時，·有最小值為2.

(3)以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦.

設點Q(－1，t)，則QS2＝QM2－4＝t2＋5，所以⊙Q的方程為(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5，

從而直線QS的方程為3x－ty－2＝0(*)，

因為一定是方程(*)的解，所以直線QS恒過一個定點，且該定點坐標為(，0).