Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2+2alnx.

(1)若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，解方程即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在[1，2]上恒成立，等價(jià)于為在[1,2]上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[1，2]上的最小值，從而可得出結(jié)論．

(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，

由已知f′(2)=1，即4+a=1，解得a=3.

(2) 由，得，

由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù)，

則g′(x)0在[1,2]上恒成立，

即在[1,2]上恒成立，

即在[1,2]上恒成立,

令,在[1,2]上，

所以h(x)在[1,2]為減函數(shù)，，

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