Question

【題目】已如橢圓的左、右焦點分別為、，為上的動點．

（1）若，設點的橫坐標為，試用解析式將表示成的函數；

（2）試根據的不同取值，討論滿足為等腰銳角三角形的點的個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）設，寫出橢圓的方程及的坐標，利用兩點間的距離公式求出的表達式，點P坐標代入橢圓方程用表示出，即可進一步將表示成的函數；（2）作出圖1至圖5的圖象，其中圖2與圖4為臨界情況，分別求出圖2與圖4所對應的b值，即可得出結論.

（1）設，其中，，由得左焦點，

則

；

（2）圖1至圖5分別對應點為2個，2個，6個，4個，4個的情況，其中圖2與圖4為臨界情況，

如圖2：為等腰直角三角形（），

設，則，

，，又，可得，解得，則；

如圖4：為等腰直角三角形（），由得，

又，所以.

所以①，點的個數為2；②，點的個數為6；

③，點的個數為4．