Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當,為兩個不相等的正數，證明：.

Answer 1

【答案】（1）時，在區間內為增函數；時，在區間內為增函數；在區間內為減函數； （2）見解析.

【解析】

(1)求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）設，原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即.設，利用導數可得在區間內為增函數，，從而可得結論.

（1）函數的定義域為，.

若，，則在區間內為增函數；

若，令，得.則當時，，在區間內為增函數；當時，，在區間內為減函數.

（2）當時，.不妨設，則原不等式等價于，

令，則原不等式也等價于即.

下面證明當時，恒成立.

設，則，

故在區間內為增函數，，即，

所以.