Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，求的值域和單調減區間；

（2）若存在單調遞增區間，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數的值域為（-∞，0]，f（x）的單調遞減區間為[2，3）（2）a＞

【解析】

（1）當時，先求得的定義域，利用換元法，結合二次函數值域和對數函數值域的求法求得函數的值域；結合復合函數單調性同增異減求得函數的單調區間.

（2）對分成和兩種情況進行分類討論，根據復合函數單調性同增異減以及判別式，求得的取值范圍.

（1）當a=4時，f（x）=log4（-x2+4x-3）=log4[-（x-2）2+1]，

設t=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，

由-x2+4x-3＞0，得x2-4x+3＜0，得1＜x＜3，即函數的定義域為（1，3），

此時t=-（x-2）2+1∈（0，1]，

則y=log4t≤log41，即函數的值域為（-∞，0]，

要求f（x）的單調減區間，等價為求t=-（x-2）2+1的單調遞減區間，

∵t=-（x-2）2+1的單調遞減區間為[2，3），

∴f（x）的單調遞減區間為[2，3）．

（2）若f（x）存在單調遞增區間，

則當a＞1，則函數t=-x2+ax-3存在單調遞增區間即可，則判別式△=a2-12＞0得a＞或a＜舍，

當0＜a＜1，則函數t=-x2+ax-3存在單調遞減區間即可，則判別式△=a2-12＞0得a＞或a＜-，此時a不成立，

綜上實數a的取值范圍是a＞．