Question

【題目】已知拋物線上一點到焦點F的距離為.

（1）求拋物線M的方程；

（2）過點F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點，線段的垂直平分線與M相交于兩點，點分別為線段和的中點.

①試用k表示點的坐標；

②若以線段為直徑的圓過點C，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②，或

【解析】

（1）根據題意可得且，解得，進而得出拋物線方程．

（2）①點的坐標為，寫出直線的方程為：，聯立直線與拋物線的方程得，設，，，，則由韋達定理得，，進而得中點的坐標，再寫出線段垂直平分線的方程：，聯立它與拋物線方程，同理得線段中點的坐標．

②根據題意得，，在中，由勾股定理得，即，分別由拋物線定義，弦長公式，兩點之間得距離公式表示，，，代入化簡解得，進而得直線的方程．

解：（1）根據拋物線的定義和已知條件，得，故，

由點Q在M上，可知，把代入，得.

所以拋物線M的方程為：.

（2）①由（1）可知點F的坐標為，所以直線l的方程為：.

聯立消去y得，

設，則，所以，

所以線段中點.

因為過點E且與l垂直，所以的方程為：

聯立消去y，得，顯然成立.

設，則，所以，

所以線段中點

②因為以線段為直徑的圓過點C，所以，

在中，，

即.

根據拋物線定義，得，

又

，

，

所以，由，

得，

解方程得，所以直線l的方程為，或.