Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，點P在C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設分別為橢圓C的左右焦點，過的直線與橢圓C交于不同的兩點A、B，求△的內切圓的半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ；(2) 最大值為.

【解析】

(1) 根據離心率為，點在橢圓上，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得結果；（2）可設直線的方程為，與橢圓方程聯立，可得，結合韋達定理、弦長公式，利用三角形面積公式可得，換元后利用導數可得的最大值為，再結可得結果.

（1）依題意有，解得，

故橢圓的方程為.

（2）設，設的內切圓半徑為，

的周長為，

，

根據題意知，直線的斜率不為零，

可設直線的方程為，

由，得，

，

由韋達定理得，

，

令，則，，

令，則當時，單調遞增，

，

即當時，的最大值為，此時，

故當直線的方程為時，內切圓半徑的最大值為.