Question

【題目】某會(huì)議共出席個(gè)人，其中每?jī)蓚�(gè)人都恰好同其余個(gè)人相互問候過，對(duì)任何兩個(gè)人，同這兩個(gè)人都問候過的人數(shù)是相同的.問共有多少人出席會(huì)議?

Answer 1

【答案】36

【解析】

將人視為點(diǎn)，相識(shí)連線，毎點(diǎn)共組成個(gè)角，毎個(gè)角恰對(duì)應(yīng)一個(gè)頂點(diǎn)，因此圖中共有角個(gè).另一方面，設(shè)毎兩個(gè)人，與該二人都相識(shí)的人有n個(gè)，因此對(duì)該二人對(duì)張n個(gè)角，毎角對(duì)應(yīng)惟一一個(gè)二人，對(duì)毎二人對(duì)張且僅張有n個(gè)角， 從這一角度說總角數(shù)為.

當(dāng)然有，整理得，其中n，k均為整數(shù).易見，沒n=3m，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得，即.當(dāng)時(shí)，，不可能為整數(shù).對(duì)于，

只有當(dāng)k=3時(shí)，取整數(shù)，因此只可能是36人.

下面構(gòu)造一個(gè)實(shí)例說明命題的情況存在.

如表R、O、Y、G、B、V表示6種顏色，將人染色，按上圖排布，毎人恰好認(rèn)識(shí)與他坐在同一行或同一列或與他具有相同顏色的人.這樣，保證了毎人恰認(rèn)識(shí)15個(gè)人，只需再證這種構(gòu)造滿足第二個(gè)條件即可.

設(shè)P、Q是任二個(gè)與會(huì)者，若他們坐在同一行，則與這兩人都認(rèn)識(shí)的人有這一行的其余4個(gè)人以及位于P所在列與Q同色的人，和位于Q所在列與P同色的人.當(dāng)P、Q同色或位于同列均可類似地分析.假定P和Q不同行，不同列，且具有不同的顏色，則二人共同認(rèn)識(shí)的6個(gè)人分別是:位于P所在的行和Q所在的列的1個(gè)人(與P、Q均不同色)，位于p所在列和Q所在行的1個(gè)人，位于p所在行和列且與Q同色的2個(gè)人，位于Q所在行和列且與p同色的2個(gè)人.