Question

【題目】已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，其漸近線為，且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與相交于兩點(diǎn)，直線的法向量為，且，求的值

（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足，求的值及的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果即可得到雙曲線方程；

（2）由直線法向量可得到直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式；利用可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；

（3）由的值可得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式求得；設(shè)，由已知等式可用表示出，代入雙曲線方程可求得，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用點(diǎn)到直線距離公式求得的高，從而求得三角形的面積.

（1）由題意知：拋物線的焦點(diǎn)為

則，解得： 雙曲線的方程為：

（2）由直線的法向量可得其方向向量

由得：

設(shè)，，則

由

解得：

（3）將代入式化簡得：，此時(shí)

設(shè)，由得：

在雙曲線上 ，解得：或

位于第四象限

，又，即

到直線的距離