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【題目】在直角坐標系中，圓經過伸縮變換后得到曲線．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程及直線的直角坐標方程；

（2）設點是上一動點，求點到直線的距離的最大值．

【答案】（1），；（2）

【解析】

（Ⅰ）由經過伸縮變換，可得曲線的方程，由極坐標方程可得直線的直角坐標方程．

（Ⅱ）因為橢圓的參數方程為（為參數），所以可設點，

由點到直線的距離公式，點到直線的距離為由三角函數性質可求點到直線的距離的最大值.

（Ⅰ）由經過伸縮變換，可得曲線的方程為，即，由極坐標方程可得直線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）因為橢圓的參數方程為（為參數），所以可設點，

由點到直線的距離公式，點到直線的距離為（其中，），由三角函數性質知，當時，點到直線的距離有最大值．

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【題目】已知函數，x R其中a>0.

（Ⅰ）求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）若函數f(x)在區間(-3,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當a=1時，設函數f(x)在區間[t,t+3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t),記 ,求函數g(t)在區間[-4,-1]上的最小值.

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【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于兩點,直線過坐標原點且與直線的斜率互為相反數.若直線與橢圓交于兩點且均不與點重合,設直線與軸所成的銳角為,直線與軸所成的銳角為,判斷與的大小關系并加以證明.

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【題目】橢圓：的左右焦點分別為，，左右頂點分別為，，為橢圓上的動點（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點，線段、的中點分別為、，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．

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【題目】為了了解某省各景點在大眾中的熟知度，隨機對15～65歲的人群抽樣了人，回答問題“某省有哪幾個著名的旅游景點？”統計結果如下圖表