Question

(本小題滿分13分)如圖，已知平行四邊形和矩形所在的平面互相垂直，，是線段的中點.

（1）求證：；（2）求二面角的大小；
（3）設點為一動點，若點從出發，沿棱按照
的路線運動到點，求這一過程中形成的三棱錐的體積的最小值.

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：（1）易求，從而，由三垂線定理知：.
（2）法一：易求由勾股定理知，
設點在面內的射影為，過作于，連結，
則為二面角的平面角.
在中由面積法易求，由體積法求得點到面的距離是，
所以，所以求二面角的大小為.
法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作交于，連結.則易證為二面角的平面角
.在中由面積法易求，從而于是，
所以，在中由余弦定理求得.再在中由余弦定理求得.最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小為.………… 8分
（3）設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P—BFD的體積的最小.. ……………… 13分
解法二：空間向量解法，略.