Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心、右焦點、右頂點及右準線與x軸的交點依次為O、F、G、H，當

|FG|

|OH|

取得最大值時橢圓的離心率為

 

（用數字作答）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓的標準方程，結合焦點坐標和準線方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，所以

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2，最后根據二次函數的性質結合

c

a

∈（0，1），可求出

|FG|

|OH|

的最大值．

解答： 解：∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴橢圓的右焦點是F（c，0），右頂點是G（a，0），右準線方程為x=

a2

c

，其中c²=a²-b²．
由此可得H（

a2

c

，0），|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，
∴

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2=-（

c

a

-

1

2

）²+

1

4

，
∵

c

a

∈（0，1），
∴當且僅當

c

a

=

1

2

時，

|FG|

|OH|

的最大值為

1

4

．
故答案為：

1

2

點評：本題根據橢圓的焦點坐標和準線方程，求線段比值的最大值，著重考查了橢圓的基本概念的簡單性質，屬于基礎題．