Question

設函數y=f（x）在（-3，3）內是奇函數，且對任意x，y都有f（x）=f（y）+f（x-y），當x＜0時，f（x）＞0，f（1）=2．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區間（-3，3）內的單調性，并證明；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）令x=2，y=1，由f（x）-f（y）=f（x-y）及f（1）=-2即可求得f（2）；
（Ⅱ）在f（x）-f（y）=f（x-y）中，令x=x₁，y=x₂，結合已知條件及函數的單調性可以作出判斷；
（Ⅲ）由奇函數的性質，g（x）≤0可化為f（x-1）-f（2x-3）≤0，也即f（x-1）≤f（2x-3），依據（2）問的單調性及函數定義域可得一不等式組，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（Ⅱ）f（x）在（-3，3）上是減函數．
證明：在（-3，3）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
令x=x₁，y=x₂，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵當x＜0時，f（x）＞0，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是減函數．
（Ⅲ）由函數f（x）在（-3，3）上是奇函數，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函數f（x） 在（-3，3）上是減函數，
解得0＜x≤2．
∴不等式g（x）≤0的解集為{x|0＜x≤2}．

點評：本題考查抽象函數的單調性、奇偶性以及抽象不等式的解法，定義及函數性質是解決抽象函數問題的主要依據．