Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，、分別是、上的點，且平面．

（Ⅰ）求證：為的中點；

（Ⅱ）當與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的性質定理可得，再根據三角形的中位線性質即可證出.

（Ⅱ）首先作出線面角，利用三角形的面積相等可得，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

（Ⅰ）連接，交于點，連接，

平面平面，

平面，平面

則，

底面是正方形，點為的中點，

為的中點.

（Ⅱ）由底面是正方形，且，則,

又底面，所以，

又，且，

所以平面，即，

又，所以平面，

在平面內，過作，連接，

則與平面所成的角最大.

設，則，

由，即，解得，

，即，

以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標系，如圖：

則，，，，

， ，，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

令，則，，

所以，、

設平面的一個法向量，

，即，

令，則，，

所以

，

所以二面角的余弦值為.