Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中m為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x+3y﹣4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得： 所以有： ，∴m=0．
（Ⅱ）f'（x）=x2﹣2（2m+1）x+3m（m+2）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）
當(dāng)3m=m+2即m=1時(shí)，f'（x）=（x﹣3）2≥0，所以f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)3m＞m+2即m＞1時(shí)，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜m+2或x＞3m；
所以此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）
當(dāng)3m＜m+2即m＜1時(shí)，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜3m或x＞m+2；
所以此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）；
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．