Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；

（2）解：令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）= ．

當a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；

當a＞0時，g′（x）= ．

令g′（x）=0，得x= ，∴當x∈（0， ）時，g′（x）＞0；當x∈（ ，+∞）時，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0， ）上是增函數，在（ ，+∞）上是減函數．

故函數g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．

令h（a）= ．

則h（a）在（0，+∞）上是減函數，

∵h（1）=﹣2＜0，

∴當a≥1時，h（a）＜0，∴整數a的最小值為1．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到f′（1），進一步求出f（1），代入直線方程的點斜式，化簡可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其導函數g′（x）= ．可知當a≤0時，g（x）是（0，+∞）上的遞增函數．結合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；當a＞0時，g′（x）= ．求其零點，可得g（x）在（0， ）上是增函數，在（ ，+∞）上是減函數．得到函數g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．令h（a）= ．由單調性可得h（a）在（0，+∞）上是減函數，結合h（1）＜0，可得整數a的最小值為1．