Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面平面，且，，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據直線與平面平行的判定定理可知只需證與平面內一直線平行，連接，根據中位線可知，平面，平面，即可證明結論；

（2）根據面面垂直的性質可得平面，又平面，即可證明結論；

（3）取的中點為，連接，從而得到平面，即為四棱錐的高，最后根據棱錐的體積公式即可得解.

（1）如圖所示，連接.

∵四邊形為矩形且是的中點，

∴也是的中點.

又是的中點，，

∵平面，平面，∴平面；

（2）證明：∵面平面，，平面平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（3）取的中點為，連接，

∵平面平面，為等腰直角三角形，

∴平面，即為四棱錐的高，

∵，∴，又，

∴四棱錐的體積.