Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為：（為參數），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，將曲線繞極點順時針旋轉后得到曲線的曲線記為.

（1）求曲線和的極坐標方程；

（2）設和的交點為，，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用求得的普通方程，然后根據極坐標和直角坐標的轉換公式，求得曲線的極坐標方程.將代入曲線的極坐標方程，求得的極坐標方程.

（2）由（1）求得的普通方程，由此求得相交弦所在直線方程，根據點到直線的距離公式以及勾股定理，求得.

（1）曲線的參數方程為（為參數），即

平方相加得的普通方程為：（或）.

∵，得曲線的極坐標方程為，

任取上一點極坐標為，由題意有在曲線上，

代入有極坐標方程為.

（2）由（1）知的極坐標方程為，即，

所以的普通方程為：，

聯立與方程可得直線的方程為：，的圓心為，半徑為2，且圓心到直線的距離為1，

∴.