Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)S為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，△SBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn)．

（1）證明：SD//平面AEC；

（2）若側(cè)面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接BD交AC于F，連接EF，由已知結(jié)合三角形的中位線定理可得EF∥SD，再由直線與平面平行的判定可得SD∥平面AEC；

（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OF并延長，可知OF⊥OC，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得：OS⊥OF，OS⊥OC，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CDS與平面ACE的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：連接BD交AC于F，連接EF，

∵ABCD為正方形，F為BD的中點(diǎn)，且E為BS的中點(diǎn)，

∴EF∥SD．

又SD平面AEC，EF平面AEC，

∴SD∥平面AEC；

（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OF并延長，可知OF⊥OC，

在等邊三角形SBC中，可得SO⊥BC，

∵側(cè)面SBC⊥底面ABCD，且側(cè)面SBC∩底面ABCD＝BC，

∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OF，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0，，），D（2，1，0），S（0，0，）．

，，，．

設(shè)平面CDS與平面ACE的一個(gè)法向量分別為，．

由，取z＝1，得；

由，取x1＝1，得．

∴cos．

∴平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值為．