Question

【題目】已知函數．

（1）若，證明：當時，；

（2）若在只有一個零點，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)先構造函數，再求導函數，根據導函數不大于零得函數單調遞減，最后根據單調性證得不等式，(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數：，這里產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.

詳解：（1）當時，等價于．

設函數，則．

當時，，所以在單調遞減．

而，故當時，，即．

（2）設函數．

在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．

（i）當時，，沒有零點；

（ii）當時，．

當時，；當時，．

所以在單調遞減，在單調遞增．

故是在的最小值．

①若，即，在沒有零點；

②若，即，在只有一個零點；

③若，即，由于，所以在有一個零點，

由（1）知，當時，，所以．

故在有一個零點，因此在有兩個零點．

綜上，在只有一個零點時，．