Question

【題目】（題文）如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內部一點，于，于，且，. 現要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.

（1）設，試將四邊形材料的面積表示為的函數，并指明的取值范圍；

（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.

【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關系，得出和，進而得出四邊形材料的面積的表達式，再結合已知尺寸條件，確定角的范圍.

（2）根據正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數表達式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應的點在上的位置.

詳解：解：（1）在直角中，因為，，

所以，

所以，

在直角中，因為，，

所以，

所以，

所以 ，.

（2）因為 ，

令，由，得，

所以 ，

當且僅當時，即時等號成立，

此時，，，

答：當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.