Question

【題目】已知圓，圓過點且與圓相切，設圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點，為曲線上的兩點（不與點重合），記直線的斜率分別為，若，請判斷直線是否過定點. 若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） (2)見解析

【解析】

（1）結合題意發現圓心C的軌跡是以D，B為焦點的橢圓，建立方程，即可。（2）設出直線PQ的方程，建立方程，將直線方程代入橢圓方程，結合根與系數關系，得到m，k的關系式，計算定點，即可。

（1）設圓C的半徑為r，依題意，|CB|＝r，|CD|＝4－r，

進而有|CB|＋|CD|＝4，所以圓心C的軌跡是以D，B為焦點的橢圓，

所以圓心C的軌跡方程為．

（2）設點的坐標分別為，

設直線的方程為（直線的斜率存在），

可得，

整理為：，

聯立，消去得：，

由 ，有，

有，，

，可得，

故有：

整理得：，解得：或，

當時直線的方程為，即，過定點不合題意，

當時直線的方程為，即，過定點．