Question

【題目】已知數集（，）具有性質：對任意、（），與兩數中至少有一個屬于集合，現給出以下四個命題：①數集具有性質；②數集具有性質；③若數集具有性質，則；④若數集（）具有性質，則；其中真命題有________（填寫序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

利用ai+aj與aj-ai兩數中至少有一個屬于A．即可判斷出結論．

①數集中，，故數集不具有性質；

②數集滿足對任意、（），與兩數中至少有一個屬于集合，故數集具有性質；

③若數列A具有性質P，則an+an=2an與an-an=0兩數中至少有一個是該數列中的一項，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是該數列中的項，∴0是該數列中的項，
∴a1=0；故③正確；

④當 n=5時，取j=5，當i≥2時，ai+a5＞a5，
由A具有性質P，a5-ai∈A，又i=1時，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
則a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
從而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，

即答案為②③④.