Question

【題目】若，為自然數，則下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序號是__________．

Answer 1

【答案】①③.

【解析】

對于①根據不等式,作差并構造函數,利用導數證明函數的單調性即可比較大小;對于不等式②,根據移項變形,構造函數,通過求即可判斷函數的單調性,比較大小即可;對于③,構造函數,利用換底公式,求導即可判斷函數的單調性,進而比較大小即可.

對于①若成立.兩邊同時取對數可得

,化簡得

因為

則,不等式兩邊同時除以可得

令,

則

當時, ,所以

即在內單調遞增

所以當時,即

所以

故①正確

對于②若,化簡可得

令,

則

由可知在內單調遞增

而

所以在內先負后正

因而在內先遞減,再遞增,所以當時無法判斷與的大小關系.故②錯誤.

對于③,若

令

利用換底公式化簡可得,

則

當時,

所以,即

則在內單調遞減

所以當時,

即

所以③正確

綜上可知,正確的為①③

故答案為: ①③