Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點F，FE∥CD，交PD于點E．

（1）證明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，

又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，

∴AD⊥PC，又AF⊥PC，

∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF

（2）解：設AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，

∴PC=2，PD= ，由（1）知CF⊥DF，

∴DF= ，AF= = ，

∴CF= = ，又FE∥CD，

∴ ，∴DE= ，同理可得EF= CD= ，

如圖所示，以D為原點，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，1），E（ ，0，0），F（ ， ，0），P（ ，0，0），C（0，1，0）

設向量 =（x，y，z）為平面AEF的法向量，則有 ， ，

∴ ，令x=4可得z= ，∴ =（4，0， ），

由（1）知平面ADF的一個法向量為 =（ ，1，0），

設二面角D﹣AF﹣E的平面角為θ，可知θ為銳角，

cosθ=|cos＜ ， ＞|= = =

∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值為：

【解析】（1）結合已知又直線和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知數據求出必要的線段的長度，建立空間直角坐標系，由向量法計算即可．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．