Question

【題目】已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣ ）（k≠0）．
（1）設f（x）的定義域為[0，3]，值域為A； g（x）的定義域為[0，3]，值域為B，且AB，求實數k的取值范圍．
（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有兩個解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x∈[0，3]時，由于f（x）=2x2﹣3x+1圖象的對稱軸為 ，且開口向上，

可知 ，f（x）max=f（3）=10，

所以f（x）的值域 ；

當x∈[0，3]時， ， ；所以當k＞0時，g（x）的值域 ；

所以當k＜0時，g（x）的值域 ；

又∵AB，所以 或 ；

即 k≥10或k≤﹣20；

（2）解：∵f（sinx）+sinx﹣a=0，所以2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有兩個解，…

設t=sinx，則t∈[﹣1，1]，令h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，

①當t∈（﹣1，1）時，由題意h（t）=0恰有一個解或者有兩個相等的解，

即h（﹣1）h（﹣1）＜0或△=4﹣8（1﹣a）=0，即1＜a＜5或

②若t=﹣1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個根，此時a=5，且方程的另一個根為t=2，于是sinx=﹣1或sinx=2，

因此 ，不符合題意，故a=5（舍）；

③若t=1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個根，此時a=1，且方程的另一個根為t=0，于是sinx=1或sinx=0，

因此x=0或 或π，不符合題意，故a=1（舍）；

綜上，a的取值范圍是1＜a＜5或 ．

【解析】（1）根據二次函數和正弦函數的圖象與性質，分別求出f（x）、g（x）在區間[0，3]上的最值即得值域A、B；再根據AB求出k的取值范圍；（2）根據f（sinx）+sinx﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有兩個解，利用換元法設t=sinx，t∈[﹣1，1]，構造函數h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，討論t的取值范圍，從而求出實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．