Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，．

求證：平面平面PBD；

若，，，E為線段PA的中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接PO，推導出AC⊥BD，PO⊥AC．由此能證明AC⊥平面PBD，從而平面PAC⊥平面PBD．

（2）求出BD，PO．推導出PO⊥BD，PO⊥平面ABCD，以O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．

如圖所示，連接PO．

在菱形ABCD中，O是AC的中點，且，

，在中，．

又，PO、平面PBD，

平面PBD．

又平面PAC，平面平面

在菱形ABCD中，，，則，

又，．

在等邊中，，

．

是BD的中點，，

在中，，

．

又，AC，平面ABCD，

平面

以O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題知0，，1，，，0，

為線段PA的中點，，

，0，，

設y，是平面BDE的一個法向量，

則，．

設y，是平面CDE的一個法向量，

則，

，

由圖知二面角為銳角，二面角的余弦值為