Question

【題目】點為坐標原點，直線經過拋物線的焦點.

（1）若點到直線的距離為， 求直線的方程；

（2）設點是直線與拋物線在第一象限的交點.點是以點為圓心，為半徑的圓與軸負半軸的交點.試判斷直線與拋物線的位置關系，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與拋物線相切，證明見解析.

【解析】

（1）拋物線的焦點，當直線的斜率不存在時，即不符合題意．當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，所以，由此能求出直線的方程．

（2）直線與拋物線相切．設，，則．因為，所以，，由此能夠證明直線與拋物線相切．

解：（1）拋物線的焦點，

當直線的斜率不存在時，即不符合題意.

當直線的斜率存在時，

設直線的方程為：，即.

所以，，解得：.

故直線的方程為：，即

（2）直線與拋物線相切，證明如下：

設，則.

因為，所以.

所以直線的方程為：，

整理得：（1）

把方程（1）代入得：，

，

所以直線與拋物線相切.