Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點為，過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線分別交直線于兩點，交橢圓于另一點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點．

【解析】

（Ⅰ）先得出a＝2，再由離心率計算出c的值，再由a、b、c的關系求出b的值，即可得出橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線l1的方程為y＝k（x﹣1），可得出直線l2的方程為，將這兩條直線分別于直線l的方程聯立，可得出點M、N的坐標，然后寫出直線AM的方程，將直線AM的方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理求出點P的坐標，再寫出直線PN的方程，通過直線PN的方程找出直線 PN所過的定點．

解：（Ⅰ）由題意，

離心率，所以.

所以，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，設，．

令，得，，

又，所以直線的方程為．

由，消元，得，

即，

設，則，所以．

所以，

又，

所以直線的斜率為

，

所以直線的方程為，

即，

直線恒過定點．