Question

對于定義域為l的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆l，同時滿足：①f（x）在[m，n]內是單調函數；②當定義域是[m，n]，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的“好區間”，已知函數P（x）=

(t2+t)x-1

t2x

（t∈R，t≠0）有“好區間[m，n]，則當t變化時，n-m的最大值是”（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：設[m，n]是已知函數定義域的子集，我們可以用t表示出n-m的取值，轉化為二次函數的最值問題后，根據二次函數的性質，可以得到答案．

解答：因為P（x）=

(t2+t)x-1

t2x

=

t+1

t

-

1

t2x

（t∈R，t≠0）在[m，n]上是單調的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
則f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

t+1

t

-

1

t2x

=x的兩個同號的實數根
即方程t²x-（t²+t）x+1=0有兩個同號的實數根，注意到mn=

1

t2

＞0
只要△=（t²+t）²-4t²＞0，解得t＞1或t＜-3
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

t2+t t2 - 4 t2

=

- 3 t2 + 2 t +1

=

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

其中t＞1或t＜-3，所以，當t=3時，n-m取最大值

2 3

3

故選：A．

點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數的單調性、函數的最值方程的根的情況、二次函數的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．