Question

函數f(x)=

a，(x=3) ( 1 3 )|x-3|+2(x≠3)

，若關于x的方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有五個不同的實數解，則實數a的范圍（　　）

• A、（1，

  5

  2

  ）∪（

  5

  2

  ，3）
• B、（2，3）
• C、（2，

  5

  2

  ）∪（

  5

  2

  ，3）
• D、（1，3）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：題中原方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有5個不同實數解，即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根；再結合2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有兩個不等實根，即可求出結論．

解答：解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有且只有5個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
∴有：2＜a＜3    ①．
再根據2f²（x）-（2a+5）f（x）+5a=0有兩個不等實根，
得：△=（2a+5）²-4×2×5a＞0⇒a≠

5

2

    ②
結合①②得：1＜a＜

5

2

或

5

2

＜a＜2．
故選：C．

點評：本題考查了函數的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數形結合的方法解決，使本題變得易于理解．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．