Question

(本題滿分14分)設直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．（Ⅰ）已知函數．求證：為曲線的“上夾線”．
（Ⅱ）觀察下圖：
          
根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

略

（Ⅰ）由得， -------1分
分當時，，此時，， -------2分
，所以是直線與曲線的一個切點；-------3分
當時，，此時，，------4分
，所以是直線與曲線的一個切點；  -----5分
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
對任意x∈R，，所以  --------6分
因此直線是曲線的“上夾線”．        ----------7分
（Ⅱ）推測：的“上夾線”的方程為       ------9分
①先檢驗直線與曲線相切，且至少有兩個切點：
設： ，
令，得：（kZ）-----10分
當時,
故：過曲線上的點(，)的切線方程為：
y－[]= [－()]，化簡得：．
即直線與曲線相切且有無數個切點．----12分
不妨設，②下面檢驗g(x)F(x)g(x)－F(x)=
直線是曲線的“上夾線”．--------14分