Question

（本小題滿分14分）
已知直線l與橢圓(a＞b＞0)相交于不同兩點A、B,,且,以M為焦點,以橢圓的右準線為相應準線的雙曲線與直線l相交于N(4,1). (I)求橢圓的離心率; (II)設雙曲線的離心率為,記,求的解析式,并求其定義域和值域.

Answer 1

(I) 由題設易知,點M是線段AB的中點,又由知M(2,1).設A(), B(),

則. 又易知,
兩式作差得:=
=,∴.又,
∴. 故.  
(II) 設橢圓的右準線為,過點N作⊥于點,則由雙曲線定義及題意知:
,
∴=. 由題設知l:,代入橢圓方程
得:.由△>0得, 由得.
∴ 的定義域為:. 而在上單調遞減,
∴∈,即∈. 
注:的定義域也可由“點M在橢圓內部,”求得.