Question

已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．
（I）求與的值；
（II）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點．若是的切線，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：，根據拋物線定義：點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得
拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得
（Ⅱ）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。
則，當  則。
聯立方程，整理得：
即：，解得或
，而，直線斜率為
，聯立方程
整理得：，即：
，解得：，或
，
而拋物線在點N處切線斜率：
MN是拋物線的切線，，整理得
，解得（舍去），或，