Question

（2008•寧波模擬）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠CDA=∠DAB=90°CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=30°，M為PB的中點．
①求證：PB⊥平面AMC；
②求直線AM與平面PAD所成的角；
③求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：①根據∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°，故以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為Z軸建立空間坐標系，根據條件求出向量

PB

，

AC

，

AM

，從而根據

PB

•

AC

=0，

PB

•

AM

=0得PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A，根據線面垂直的判定定理可得結論；
②平面PAD的法向量為

.

DC

=(0，1，0)，根據cos＜

AM

，

DC

＞=

AM DC

| AM || DC |

可求出AM與DC所成的角，從而求出PM與平面PAD所成的角；
③設平面PBC的法向量為

n

，根據法向量與

CP

、

CR

垂直求出

n

，又

BA

=（0，-4，0）根據cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA| •  |n|

可求出AB與平面PBC的所成角的正弦值，從而點A到平面PBC的距離．

解答：解：①因∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°
故以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為Z
軸建立空間坐標系
因∠ADP=30°，AD=2，
∴PD=2

3

，又∠DAB=90°，
從而有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0）
C（0，1，0），P（0，0，2

3

）
∴M（1，2，

3

）
則

PB

=(2，4，-2

3

)，

.

AC

=(-2，1，0)，

AM

=(-1，2，

3

)
從而

PB

•

AC

=0，

PB

•

AM

=0，
∴PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A
故PB⊥平面AMC…（5分）
②平面PAD的法向量為

.

DC

=(0，1，0)
cos＜

AM

，

DC

＞=

AM DC

| AM || DC |

=

2

2 2 ×1

=

2

2

即AM與DC所成的角為45°，故PM與平面PAD所成的角為45°…（9分）
③設平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，

CP

=(0，-1，2

3

)，

CB

=(2，3，0)
由

CP

•

n

=0有y=2

3

z，

CR

•

n

=0有2x+3y=0
取z=

3

3

，則y=2，x=-3，
∴

.

n

=(-3，2，

3

3

)
又

BA

=（0，-4，0）則cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA| •  |n|

=

-8

4× 2 10 3

=-

30

10

則AB與平面PBC的所成角的正弦值為

3

10

從而點A到平面PBC的距離為d=|

.

BA

|•

3

10

=

2 30

5

…（14分）

點評：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及線面垂直的判定和點到平面的距離，同時考查了計算能力，屬于中檔題．